Saber resolver equações de primeiro e segundo grau serve como base para diversos outros assuntos não apenas de matemática, mas também nas demais matérias de exatas.
É um conteúdo básico que aparece nos vestibulares e, mesmo não parecendo, é bem simples!
Nesse artigo, vamos mostrar que não existe bicho de sete cabeças em resolver equações de 1º e 2º grau.
Você vai conferir:
Equações de grau são operações para resolver problemas matemáticos com uma ou mais variáveis e, no mínimo, duas equações.
Normalmente, estudamos a equação de 1º grau e 2º grau na escola.
A equação de primeiro grau é aquela equação que envolve apenas soma e a subtração de incógnitas.
Já a equação de segundo grau é aquela com multiplicação ou divisão entre as incógnitas ou alguma variável elevada à segunda potência (x²).
Sendo assim, para resolver essas operações, você precisa dominar assuntos básicos de matemática (soma, subtração, multiplicação e divisão) e potência.
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Temos dois métodos de resolver equações de primeiro grau: substituição e adição.
Vamos aprender como fazer cada um e escolher o que achar mais fácil
Consiste em substituir uma equação na outra. Confira o exemplo:
2x + 5y = 14
x + 2 = 16
Isolando o x na segunda equação, temos:
2x + 5y = 14
x = 16 - 2
Descobrimos assim a primeira variável:
x = 14
Substituindo na equação anterior, temos:
2.(14) + 5y = 14 → 28 +5y = 14
Desse modo, basta fazer a operação para encontrar o y:
28 +5y = 14
5y = 14 - 28
5y = -14
y = -14/5 (14 sobre 5)
Pronto, o resultado é:
x = 14
y = -14/5 (14 sobre 5)
Basicamente, você só precisa isolar a incógnita mais fácil e substituir o resultado dela na outra operação.
Consiste em somar duas equações de modo que uma das incógnitas se anule.
Para isso, os coeficientes precisam ter sinais opostos. Vamos conferir o exemplo:
3x + 4y = 36
x - 4y = 20
Somando as duas equações, temos:
(3x +4y) + (x - 4y) = 36 + 20
Somando +4y com -4y, o resultado fica zero. Portanto, ficamos com:
(3x + 4y) + (x - 4y) = 56
3x + x = 56
Agora, basta somar a equação e encontrar o valor de x:
3x + x = 56
4x = 56
x = 56/4
x = 14
Substituindo o x na segunda equação, descobrimos o valor de y:
x - 4y = 20
14 - 4y = 20
-4y = 20 - 14
-4y = 6
Como a incógnita não pode ficar negativa, precisamos multiplicar por (-1), ficando:
-4y = 6 . (-1)
4y = - 6
y = - 6/4
y = -3/2
Encontramos os valores de nossas incógnitas:
x = 14
y = -3/2
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Essa é uma dúvida bem comum quando os estudantes utilizam métodos de adição para resolver equações de primeiro e segundo grau.
Caso os valores não sejam opostos, como no exemplo abaixo:
2x + 8y = 56
x - 2y = -14
Você pode multiplicar uma das equações de modo que incógnitas fiquem opostas. Nesse caso, multiplicaremos a segunda equação por -2. Confira:
2x + 8y = 56
x - 2y = -14 (.-2) → - 2x + 4y = +28
Importante:
Portanto, ficamos:
2x + 8y = 56
- 2x + 4y = +28
Basta fazer aquele processo que já conhecemos:
2x + 8y + (- 2x + 4y) = 56 +28
2x + 8y + (- 2x + 4y) = 56 +28
8y + 4y = 84
12y = 84
y = 84/12
y = 7x - 2y = -14
x - 2.7 = -14
x = 28
Para quem tem mais prática, o método de adição pode ser um pouco mais rápido para o Enem.
Assim como a equação de primeiro grau, você também pode fazer pelo modelo de adição ou substituição. Vamos aprender:
Vamos começar com a seguinte equação:
2x² + 3y = 37
x² - y = 4
Para começar, pegamos a equação mais fácil de isolar, que é a primeira nesse caso:
x² = 4 + y
Substituindo na equação anterior:
2x² + 3y = 37
2.(4 + y)² + 3y = 37
2.(16 + y²) + 3y = 37
32 + 2y² + 3y = 37
Agora, precisaremos organizar a equação para utilizar a fórmula de Bháskara:
32 + 2y² + 3y = 37
+ 2y² +3y - 5 = 0
Primeiro, descobriremos o delta:
Δ= b2- 4ac
Δ = (3)² - 4.2.-5
Δ = 9 + 40
Δ = 49
Em seguida, vamos descobrir os dois valores de y com as duas fórmulas a seguir:
Portanto, temos:
Y’ = (-3 + 49√)/ 2.2
Y’ = (- 3 + 7) / 4
Y’ = 4/4
Y’ = 1Y’ = -3 - 49√ / 2.2
Y’ = (-3 - 7) / 4
Y’ = -10/4
Y’ = -5/2
Agora, descobriremos os valores de x, substituindo em qualquer uma das equações:
x² - y = 4
x² - (1) = 4
x² -1 = 4
x² = 4 +1
x² = 5
x = 5√x² - y = 4
x² - (-5/2) = 4
x² +5/2 = 4
x² = 4 -5/2
x² = 3/2
x = 32√
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O processo com adição é bem semelhante ao modelo anterior da equação de primeiro grau. Confira:
x² + 2y² = 24
2x² + 3y² = 64
Como as incógnitas não estão opostas, precisamos multiplicar a primeira por (-2), ficando:
x² + 2y² = 24 (. -2)
-2x² -4y² = -48
Pronto, agora é só somar as duas equações:
(2x² + 3y²) + (-2x² -4y²)= - 48 +64
(2x² + 3y²) + (-2x² -4y²)= -16
3y² - 4y² = -16
-y² = -16 (.-1)
y² = 16
y = 16√
y’= 4
y’’ = -4
Nesse caso, sabemos o valor do y, mas ainda não sabemos os dois valores de x.
Podemos assim substituir em qualquer uma das equações para encontrar:
2x² + 3y² = 64
2x² + 3.(4)² = 64
2x² + 48 = 64
2x² = 64 - 48
2x² = 16
x² = 16/2
x² = +8√
x’’ = -8√
Com o segundo Y:
2x² + 3-² = 64
2x² + 3.(-4)² = 64
2x² + 48 = 64
2x² = 64 - 48
2x² = 16
x² = 16/2
x² = +8√
x’’ = -8√
E então? Qual dos dois modelos você mais gostou? Adição ou substituição?
Independente do modelo, você precisa estudar sozinho bastante para conseguir resolver equações de primeiro e segundo grau no começo.
Após conseguir, vai ficar quase automático. Bons estudos!
