Conjuntos numéricos: resumo para se dar bem em Matemática no Enem

Em resumo, os conjuntos numéricos são a união de números que tem as mesmas características.

Um conjunto, em conceito, representa a união de elementos que têm atributos semelhantes. Então, dentro da matemática, os conjuntos numéricos reúnem números de características parecidas.

Esse conteúdo é um dos assuntos que mais caem em matemática no Enem, então trouxemos neste artigo um resumo sobre conjuntos numéricos.

O que são, quais são os conjuntos e subconjuntos e onde você pode encontrar questões que já caíram no Enem para treinar.

Confira:

O que são conjuntos numéricos?
Quais são os conjuntos numéricos?
Símbolos usados nos conjuntos numéricos
Exercícios de conjuntos numéricos para treinar
Veja uma lista de aulas de conjuntos numéricos

O que são conjuntos numéricos?

Os conjuntos numéricos são uma organização de elementos numéricos em grupos classificados pela semelhança entre estes elementos.

Dentro da matemática, o ramo que estuda os conjuntos numéricos é a Teoria dos Conjuntos.

Essa teoria diz que todos os elementos podem ser agrupados a partir de características semelhantes, desde frutas e animais até os numerais.

Quais são os conjuntos numéricos?

Ao todo, existem seis conjuntos numéricos.

Eles, como dissemos, são classificados de acordo com características próprias, o que nos gera os conjuntos de números naturais, inteiros, racionais, irracionais, irreais e complexos.

Na próxima seção, iremos explorar cada um desses conjuntos em maior profundidade, mas agora, para entender como eles se relacionam entre si, confira algumas de suas propriedades:

O conjunto dos números naturais (N) é um subconjunto dos números inteiros: Z (N ⊂ Z).
O conjunto dos números inteiros (Z) é um subconjunto dos números racionais: (Z ⊂ Q).
O conjunto dos números racionais (Q) é um subconjunto dos números reais (R).
Os conjuntos dos números naturais (N), inteiros (Z), racionais (Q) e irracionais (I) são subconjuntos dos números reais (R).

Para ficar mais claro ainda, você pode conferir a relação entre os conjuntos na figura abaixo:

conjuntos numericos

Fonte: todamateria.com.br

E agora que você já entendeu as propriedades, vamos conferir as características de cada conjunto numérico, seu conceito, símbolo, subconjuntos e exemplos.

1. Conjuntos numéricos Naturais (N)

O conjunto dos números naturais reúne aqueles números que usamos para contar desde o 0 até o infinito. Este conjunto numérico é representado pela letra N.

A maior parte dos conjuntos conta com subconjuntos. A lista abaixo engloba os subconjuntos de números naturais:

N* = {1, 2, 3, 4, 5..., n, ...} ou N* = N – {0}: é o subconjunto que reúne números naturais não-nulos, ou seja, esse subconjunto não conta com o número 0.
Np = {0, 2, 4, 6, 8..., 2n, ...}, em que n ∈ N: é o subconjunto que reúne os números pares.
Ni = {1, 3, 5, 7, 9..., 2n+1, ...}, em que n ∈ N: ao contrário do subconjunto anterior, este reúne os números ímpares.
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}: este subconjunto dos números naturais reúne os números primos.

2. Conjuntos numéricos Inteiros (Z)

O conjunto dos números inteiros reúne todos os elementos dos números naturais e seus opostos. Ou seja, além dos números naturais positivos, ele reúne os números negativos também.

Este conjunto é representado pela letra Z.

Por conta de o conjunto de números inteiros reunir também números naturais, podemos dizer que o conjunto numérico N faz parte do conjunto numérico Z (N ⊂ Z).

Quanto aos seus subconjuntos, são estes:

Z* = {..., –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, ...} ou Z* = Z – {0}: contendo os números inteiros não-nulos, ou seja, este conjunto não inclui o número 0.
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}: reúne os números inteiros não-negativos. Este subconjunto acaba sendo igual ao conjunto de números naturais. Ou seja, Z+ = N.
Z*+ = {1, 2, 3, 4, 5, ...}: números inteiros positivos e sem o zero.
Z – = {..., –5, –4, –3, –2, –1, 0}: reunindo números inteiros não-positivos.
Z*– = {..., –5, –4, –3, –2, –1}: os números inteiros negativos e sem o zero.

3. Conjuntos numéricos Racionais (Q)

O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q e reúne todos os elementos que podem ser escritos em forma de fração, além dos números inteiros.

Dessa forma, todo número inteiro é também um número racional, fazendo com que o conjunto numérico Z seja um subconjunto de Q.

Além dos números que podem ser escritos em fração, o conjunto dos números racionais também inclui dízimas periódicas.

Isso porque estes números decimais que se repetem após a vírgula (por exemplo: 0,33333333...), embora possuam casas infinitas, podem ser escritos em forma de fração.

Quanto aos subconjuntos, confira a listagem:

Q*: é o subconjunto que reúne os números racionais não-nulos, formado pelos números racionais sem o zero.
Q+: reúne os números racionais não-negativos, formado pelos números racionais positivos e o zero.
Q*+: é o subconjunto dos números racionais positivos, formado pelos números racionais positivos, sem o zero.
Q–: subconjunto dos números racionais não-positivos, formado pelos números racionais negativos e o zero.
Q*–: reunindo os números racionais negativos, formado números racionais negativos, sem o zero.

4. Conjuntos numéricos Irracionais (I)

Por sua vez, os números irracionais são o conjunto que reúne os números decimais não exatos, obtidos pela divisão de números inteiros, com uma representação infinita e não periódica.

Eles também não podem ser representados por meio de frações irredutíveis.

Por exemplo, o π (Pi), 3,14159..., é um número irracional. Este conjunto é representado pela letra I.

Os números irracionais, ao contrário dos outros presentes nesta lista, não possuem subconjuntos.

5. Conjuntos numéricos Reais (R)

Já o conjunto dos números reais, representado pela letra R, é formado pelos conjuntos dos números racionais (Q) e irracionais (I). Dessa forma, temos que R = Q U I.

Também entendemos, por essa relação que, os conjuntos de números naturais, inteiros, racionais e irracionais são subconjuntos dos números reais.

Porém, é importante observar que mesmo estando dentro de um mesmo conjunto, de números reais, os números irracionais e racionais não são a mesma coisa.

Por exemplo, um número real pode ser irracional, mas ele não pode ser racional. O contrário também é válido, um número pode ser racional e real, mas não pode ser irracional.

Quanto aos subconjuntos, esta é a listagem:

R*= {x ∈ R│x ≠ 0}: conjunto dos números reais não-nulos.
R+ = {x ∈ R│x ≥ 0}: conjunto dos números reais não-negativos.
R*+ = {x ∈ R│x > 0}: conjunto dos números reais positivos.
R– = {x ∈ R│x ≤ 0}: conjunto dos números reais não-positivos.
R*– = {x ∈ R│x < 0}: conjunto dos números reais negativos.

6. Conjuntos numéricos Complexos

Por fim, os números complexos são compostos por uma parte real e uma parte imaginária.

Isso significa que eles são formados por números que fazem parte do conjunto de números reais, mas também pelo conjunto de pares ordenados (x, y).

Dessa forma, o conjunto dos números complexos se define pelas operações de:

Igualdade: (a, b) = (c, d) ↔ a = c e b = d
Adição: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
Multiplicação: (a, b) . (c, d) = (ac – bd, ad + bc)

🔵 Leia também: Quantos pontos precisa para passar no ENEM?

Símbolos usados nos conjuntos numéricos

Pela explicação dos tipos de conjuntos numéricos, você deve ter percebido que existem alguns símbolos que são comumente usados dentro desse assunto na matemática.

Por isso, vamos usar esta seção para entender exatamente o que significa cada um deles. Veja:

Pertence (∈): é utilizado para demonstrar quando um elemento pertence a um conjunto. Por exemplo, ao dizer que 2∈A, estamos dizendo que o elemento 2 pertence ao conjunto A.
Não pertence (∉): já este elemento significa o contrário do anterior, utilizamos o ∉ para demonstrar quando um elemento não pertence a um conjunto. Por exemplo, ao dizer 2∉A, estamos dizendo que o elemento 2 não pertence ao conjunto A.
Contido (⊂) e contém (⊃): estes são dois símbolos que demonstram quando um subconjunto está contido (está dentro) ou contém (é quem abriga) determinado conjunto. Por exemplo, ao dizer que A ⊂ B, estamos dizendo que o subconjunto A está contido (está dentro) do conjunto B. Agora, ao dizer A ⊃ B, estamos dizendo que o conjunto B contém o subconjunto A, que o conjunto B é quem abriga o subconjunto A.

Exercícios de conjuntos numéricos para treinar

Agora que você já entendeu o que são os conjuntos numéricos e já conferiu todos os seis conjuntos que existem em resumo, chegou a hora de treinar.

E não existe forma melhor de treinar para o Enem do que com as questões que já caíram na prova.

Assim, você consegue não apenas praticar o conteúdo, mas também entender e mecânica das questões. Confira abaixo as questões sobre o assunto que já caíram no Enem:

Questão 1 – Enem 2020

Uma pessoa precisa comprar 15 sacos de cimento para uma reforma em sua casa. Faz pesquisa de preço em cinco depósitos que vendem o cimento de sua preferência e cobram frete para entrega do material, conforme a distância do depósito à sua casa. As informações sobre preço do cimento, valor do frete e distância do depósito até a casa dessa pessoa estão apresentadas no quadro.

conjuntos numericos exercicios 1

A pessoa escolherá um desses depósitos para realizar sua compra, considerando os preços do cimento e do frete oferecidos em cada opção. Se a pessoa decidir pela opção mais econômica, o depósito escolhido para a realização dessa compra será o

Questão 2 – Enem 2020

Querendo reduzir custos na limpeza da área de estacionamento de um prédio, o síndico resolveu comprar uma lavadora de alta pressão. Sabe-se que, na utilização desse equipamento, o consumo de água é menor, entretanto, existe o gasto com energia elétrica. O síndico coletou os dados de cinco modelos de lavadora com mesmo preço, e cujos consumos de água e de energia são os fornecidos no quadro.

conjuntos numericos exercicios 2

As tarifas de água e de energia elétrica são, respectivamente, R$ 0,0025 por litro de água e R$ 0,30 por quilowatt-hora. O modelo de lavadora que o síndico deve adquirir para gastar menos com a limpeza do estacionamento é

I.
II.
III.
IV.
V.

Questão 3 – Enem 2020

Foi feita uma pesquisa sobre a escolaridade dos funcionários de uma empresa. Verificou-se que 1/4 dos homens que ali trabalham têm o ensino médio completo, enquanto 2/3 das mulheres que trabalham na empresa têm o ensino médio completo. Constatou-se, também, que entre todos os que têm o ensino médio completo, metade são homens. A fração que representa o número de funcionários homens em relação ao total de funcionários dessa empresa é:

1/8
3/11
11/24
2/3
8/11

Gabarito

Selecione as respostas com o mouse para conferir as alternativas corretas:

Questão 1 – Alternativa C
Questão 2 – Alternativa E
Questão 3 – Alternativa E

Veja uma lista de aulas de conjuntos numéricos

E para aprofundar ainda mais os seus conhecimentos sobre o assunto, reunimos abaixo uma série de aulas de conjuntos numéricos disponível no YouTube de forma gratuita: