A análise combinatória é um dos ramos da matemática que contempla as teorias de determinação de grupos, combinação de fatores, desenvolvimento de sorteios e randomização de valores.
Entender o que é a análise combinatória, como ela funciona e como resolver uma questão que envolve essa área é essencial para quem quer ir bem no Enem.
Não apenas porque ajuda a resolver questões de genética, mas porque a análise combinatória é um dos conteúdos que mais caem em matemática no Enem.
A área está entre os dez assuntos que mais apareceram na prova de Matemática e suas Tecnologias nas últimas edições da prova. A análise combinatória representou 4,4% das questões.
Por isso, neste artigo, você vai conhecer os assuntos de análise combinatória no Enem, verá conceitos da área e exemplos de questões resolvidas que já caíram no exame.
Confira:
A análise combinatória é o ramo da matemática que estuda métodos e técnicas que permitem resolver problemas relacionados com contagem.
Ela é muito utilizada nos estudos sobre probabilidade e tem como função encontrar todos os agrupamentos possíveis dentro de um conjunto por meio de condições pré-determinadas.
A área possui várias aplicações, como no estudo da genética ou até mesmo na elaboração de senhas e sistemas de segurança, que analisam as combinações possíveis para maior proteção.
O princípio fundamental da contagem, conhecido também como princípio multiplicativo, é a base para os cálculos envolvendo contagem de reagrupamentos.
Ainda que existam fórmulas específicas para calcular alguns casos de agrupamentos, elas surgem desse princípio, que diz o seguinte:
Se uma decisão a pode ser tomada de n formas e uma decisão b pode ser tomada de m formas, e essas decisões são independentes, então o número de combinações possíveis entre essas duas decisões é calculado pela multiplicação n · m
A aplicação do princípio fundamental da contagem é bastante simples quando o estudante compreende bem a situação proposta.
Mas é importante ficar atento à interpretação do problema, o que faz com que seja o fator que dificulte a resolução destas questões e não somente a resolução do cálculo em si.
🔵 Leia também: O que mais cai em matemática no Enem?
Os temas mais recorrentes sobre análise combinatória no Enem são: combinação, arranjo e permuta. Abaixo, você entende melhor cada um desses tópicos com fórmulas e exemplos:
A combinação é um agrupamento que está ligado a subconjuntos de um conjunto.
Entendemos como combinação de n, tomados de p em p, a contagem de todos os subconjuntos possíveis com p elementos de n.
A diferença entre a combinação e o arranjo é que, na combinação, a ordem não é importante, então os conjuntos {A,B,C} e {C,A,B} são a mesma coisa.
Para calcular a combinação, utilizamos a fórmula:
Exemplo:
Para comemorar o sucesso em vendas de uma corretora de imóveis, a empresa decidiu sortear, entre os 10 funcionários que mais venderam, 4 deles para viajarem para a cidade de Caldas Novas-GO, com a sua família e todas as despesas pagas. Quantos resultados distintos podemos ter com esse sorteio?
Arranjos são os agrupamentos ordenados formados por parte dos elementos de um conjunto.
Dado um conjunto de n elementos, pretendemos saber quantos agrupamentos ordenados podemos formar com elementos p, sendo p sempre menor que n.
É importante perceber a diferença entre o arranjo e a permutação.
Em ambos a ordem é importante, mas na permutação são agrupados todos os elementos do conjunto. No arranjo, são agrupados apenas parte desses elementos.
A fórmula para calcular o arranjo é a seguinte:
A permutação é uma técnica de contagem utilizada para determinar a mudança de posição dos elementos do grupo, formando nova organização.
Fazer uma permuta é realizar uma troca e, nos problemas de análise combinatória, significa trocar os elementos de lugar, considerando a ordenação desses.
A permutação é subdividida entre simples e com repetição.
Acontece quando os elementos do grupo são distintos e, assim, não é gerada repetição. O cálculo matemático é representado pela fórmula:
Pn = n!
Exemplo:
De quantas maneiras diferentes 6 pessoas podem formar uma fila?
P6 = 6!
6.5.4.3.2.1 = 720
Resposta: existem 720 possibilidades diferentes.
A permutação com repetição acontece quando os elementos apresentam repetição. Para calcular a permutação utiliza-se a fórmula abaixo:
Onde:
a = alfa
ß = beta
g = gama
As letras gregas indicam o número de vezes que as letras se repetem. Vamos praticar o conceito com um exemplo.
No anagrama da palavra “matemática” tem-se a repetição das letras M, A, T. A resolução da permutação será assim:
Onde:
🔵 Leia também: As fórmulas de matemática mais importantes para o EnemP 10 = permutação de dez letras: M A T E M A T I C A
P 2,3,2= repetição de dois “M”, três “A” e dois “T”
10! = Fatorial do total
2! = Fatorial da repetição do “M”
3! = Fatorial da repetição do “A”
2! = Fatorial: número de vezes “T”
Veja abaixo uma questão sobre análise combinatória no Enem que foi resolvida pelo Projeto Aghata. Assim, você conseguirá entender melhor os conceitos.
Uma filial de uma empresa de consórcio decidiu selecionar dois funcionários para irem até a matriz conhecer o novo sistema voltado para o departamento de contemplação de consórcios. Para isso, o gerente decidiu realizar um sorteio entre os 8 funcionários do departamento, a fim de decidir quais participariam dessa formação. Sabendo disso, o número de resultados possíveis para esse torneiro é:
A. 42
B. 56
C. 20
D. 25
E.28
Note que esse é um problema de combinação, pois a ordem não é importante e estamos selecionando parte do conjunto. Vamos calcular a combinação de 8 tomados de dois em dois:
✅ Gabarito: E
E agora que você já viu uma questão resolvida, abaixo confere uma seleção de questões sobre análise combinatória que já caíram no Enem para praticar.
O gabarito estará no final da seção, depois das questões.
Uma pessoa produzirá uma fantasia utilizando como materiais: 2 tipos de tecidos diferentes e 5 tipos distintos de pedras ornamentais. Essa pessoa tem à sua disposição 6 tecidos diferentes e 15 pedras ornamentais distintas.
A quantidade de fantasias com materiais diferentes que podem ser produzidas é representada pela expressão
A prefeitura de uma cidade está renovando os canteiros de flores de suas praças. Entre as possíveis variedades que poderiam ser plantadas, foram escolhidas cinco: amor-perfeito, cravina, petúnia, margarida e lírio. Em cada um dos canteiros, todos com composições diferentes, serão utilizadas somente três variedades distintas, não importando como elas serão dispostas.
Um funcionário deve determinar os trios de variedades de flores que irão compor cada canteiro. De acordo com o disposto, a quantidade de trios possíveis é dada por
Uma das bases mais utilizadas para representar um número é a base decimal. Entretanto, os computadores trabalham com números na base binária. Nessa base, qualquer número natural é representado usando apenas os algarismos 0 e 1. Por exemplo, as representações dos números 9 e 12, na base binária, são 1001 e 1100, respectivamente. A operação de adição, na base binária, segue um algoritmo similar ao utilizado na base decimal, como detalhado no quadro:
Por exemplo, na base binária, a soma dos números 10 e 10 é 100, como apresentado:
🔵 Leia também: Quantos pontos precisa para passar no ENEM?
Abaixo você confere o gabarito. Selecione o texto com o mouse para revelar a alternativa correta:
E então, está se sentindo mais confiante para fazer as questões de análise combinatória no Enem? Conta para gente aqui nos comentários!
